다음은 이 사이트의 페이지 목록으로, 카운터 예제가 튀어나와 검색되었으며 유용하다고 밝혀졌습니다. 패트릭 호너에게서 배운 또 다른 예를 들자면, 평행측 두 쌍의 평행측이 있는 사분면으로 평행사변형의 특성을 다시 기억한다. 그것은 parallelogram 두 개의 다른 (그리고 몇 가지 더 많은) 특성을 인정 하는 것을 증명 하는 간단한 문제: 예를 들어, 플라톤의 Gorgias에서, Callicles, 어떤 사람들이 다른 사람 보다 “더 나은” 말을 의미 하는 것을 정의 하려고, 주장 하는 사람들 더 강하다. 이전 단락은 수학이 반대예에 직면하여 그녀의 추측을 약화시킬 수있는 방법을 설명했지만, 반대 예는 가정과 가설이 필요하다는 것을 보여주기 위해 사용될 수 있습니다. 잠시 후 문제의 수학자는 새로운 추측에 정착 가정 “사각형과 같은 길이의 네 면이 모든 모양은 사각형입니다”. 이 추측은 가설에 두 부분으로 되어 있습니다: 모양은 `직사각형`이어야 하고 `길이가 같은 네 면이 있어야 합니다`와 수학자는 그녀가 가정을 제거하고 여전히 그녀의 추측의 진실을 유지할 수 있는지 알고 싶습니다. 그래서 그녀는 문장의 진실을 확인해야합니다 : (1) “사각형인 모든 모양은 사각형”과 (2) “길이가 같은 네 면이있는 모든 모양은 사각형입니다”. (1)에 대한 카운터 예제가 이미 지정되었으며(2)에 대한 카운터 예제는 정사각형이 아닌 마름모입니다. 따라서 수학자는 두 가정이 모두 필요하다고 봅니다.

또는 첫 번째 철학자는 반대 예가 더 이상 적용되지 않도록 클레임을 수정할 수 있습니다. 이는 수학자때문에 역예로 인해 추측을 수정할 때와 유사합니다. Witsenhausen의 반대 예는 이차 손실 함수와 상태 변수의 진화의 선형 방정식이 선형인 최적의 제어 법칙을 암시하는 제어 문제에 대해 항상 사실이 아님을 보여줍니다. 다른 예로는 세이퍼트 추측의 방수, 설교 추측, 힐베르트의 14번째 문제의 추측, Tait의 추측, 가네아 추측 등이 있습니다. B. R. Gelbaum과 J. M. H. Olmsted의 의견으로 – 카운터 예제에 대한 두 개의 인기있는 책의 저자 – 수학 개발의 대부분은 정리와 반대 사례를 찾는 (및 증명)에 있습니다. 일부 질문은 주어진 문에 대한 반대 예제를 찾도록 요청합니다. 즉, 명령문의 결론을 거짓으로 만드는 예제를 찾아야 합니다.

여러 선택 중에서 반대 예제를 선택해야 하는 경우 종종 시행 착오 접근 방식을 사용하여 이러한 선택 중 어느 것이 모순으로 이어지는지 결정할 수 있습니다. “모든 소수는 홀수”라는 문장에 대한 반대 예는 소수이지만 홀수가 아니므로 숫자 2입니다. 숫자 7 또는 10 중 어느 것도 문과 모순되지 않습니다. 이 예제에서 2는 문에 대한 유일한 가능한 대예이지만 “모든 소수는 홀수”와 모순되는 단일 예제만 필요합니다. 마찬가지로 “모든 자연 수는 소수 또는 복합”이라는 문장은 숫자 1이 소수도 합성도 아니기 때문에 역예로 숫자 1을 갖습니다. 수학에서는 역예가 문표를 반증하는 데 사용됩니다. 진술이 참임을 증명하려면 항상 참임을 증명하는 증거를 작성해야 합니다. 예를 들면 충분하지 않습니다. 증거를 작성하는 것에 비해, 카운터 예제를 작성하는 것은 훨씬 간단합니다. 명령문이 true가 아니라는 것을 표시하려면 명령문이 false인 시나리오의 한 예만 제공하면 됩니다.